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標(biāo)題: 圓形的特性推論可以幫你解決系列問題。 [打印本頁]

作者: zerowing 時間: 2013-6-9 13:30
標(biāo)題: 圓形的特性推論可以幫你解決系列問題。

呵呵，最近說到了基礎(chǔ)。也有人發(fā)了一個簡單的題。于是有了這個念頭。其實，有些基礎(chǔ)的東西可以一方治百病，只是看你能不能想起來用了。
- ^) O0 \. B% \) ]7 _# R2 V

原帖地址：http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=124540&extra=page%3D1 0 Z3 C' ?# S* O: G; M" ~

這類題其實都可以用一個推論來解決。原自圓形的特征。
& k) m7 ]8 d; V. v4 h! L N

圓，當(dāng)一個圓沿某一平面做純滾動時，其圓心走過的距離恒等于其自身轉(zhuǎn)過的弧長。( z8 v$ H+ ~& R

證明：如圖+ s; z4 S, J2 f

[attach]286237[/attach]

假定一個圓轉(zhuǎn)動一個足夠小的角a，那么其滾過的痕跡為一線段（因為足夠�。�。
3 i8 B( y* F6 a; F% C1 H9 p

則有：弧AB長等于線段AB長。根據(jù)幾何關(guān)系，OA垂直于線段AB，OB垂直于線段AB，OA=OB，于是有OO線段長=AB線段長。
3 c7 d! g/ h9 [% q

因此得到推論結(jié)果：圓，當(dāng)一個圓沿某一平面做純滾動時，其圓心走過的距離恒等于其自身轉(zhuǎn)過的弧長。7 o4 {( q# b( E* U. r/ ?

而這一結(jié)果會使得上面提到的一系列題目得到最簡單的解決辦法。因為你可以不用去管它什么形狀，你所需要的只是計算出圓心走過的距離。然后根據(jù)這一推論得出結(jié)果。
) D, r9 E7 K! F% Q, c

實例1：http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=124540&extra=page%3D1

解答：

[attach]286239[/attach]

                                                                                    （別管里面的標(biāo)注）
　　　圓心走過的距離為：（中心圓半徑+小圓半徑）*2*pi=m*（Z1+Z2)*pi  ——（1）
         則小圓圍繞中心圓轉(zhuǎn)一圈走過的弧長為： m*(Z1+Z2)*pi
         則小圓轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為： n=m*(Z1+Z2)*pi/( m*Z2*pi)=(Z1+Z2)/Z2
         帶入數(shù)據(jù)得到： n=3

實例2：

[attach]286241[/attach]

         這樣一個圖形中，小圓轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。
         同樣。按上面的步驟：圓心走過的距離：6*b
         小圓對應(yīng)的弧長：6*b
         轉(zhuǎn)過的圈數(shù)：6*b/(a*pi)
         b怎么得到。有c有a，不要告訴我你算不出b來。哈哈。相似三角形啊。

同理，你可以很方便的計算出例如像實例2種圓在外面滾的結(jié)果。還有很多結(jié)構(gòu)復(fù)雜，不好判斷的圖形。2 O( {( f3 h l" V" L n4 M

請注意：齒輪轉(zhuǎn)動的本質(zhì)是分度圓的純滾動。因此這個方法對于所有行星輪問題同樣有效。
/ m7 J! |5 l/ F& M; [3 e) r+ k

2 a7 W* l0 z& v' A* Y. l: ?' H
說這么多，希望對大家有所啟發(fā)。

作者: crazypeanut 時間: 2013-6-9 13:36
看到這個，我想起了擺線齒輪

作者: ttlegyq 時間: 2013-6-9 14:03
頂一下，非常實用

作者: 情癲浪子 時間: 2013-6-9 14:17
大俠的見解一直都很透徹，通俗易懂，比那些教授講的都好哇！

作者: datree 時間: 2013-6-10 21:38
看到這個，想到用根不計厚度的繩子繞在圓周上，繩子頭固定住，讓圓滾動起來，繩子就會放出來。繩子的長度就是圓滾過的弧長也是圓心走過的距離

作者: 新新額 時間: 2013-6-12 18:07
謝謝，受教了樓主。

作者: 千浪一石 時間: 2013-6-13 09:12
大俠，你這要點水平才能用好，我等“拿來主義”還是不得其要旨��！慚愧~拜服！

作者: 1043 時間: 2013-6-15 13:28
一般復(fù)雜問題往往需要這些小的知識點架構(gòu)起來,啟發(fā)了

作者: 咪嗪 時間: 2013-6-15 14:06
樓主，這個原理是不是在擺線針減速機內(nèi)常用。。。

作者: 上海工作＿2012 時間: 2013-6-17 09:07
正解

作者: 夕陽書生 時間: 2013-7-15 23:19
受教了樓主

作者: 降臺詩春 時間: 2015-4-27 10:29
往往越是簡單的方法越能發(fā)人深省，受教了樓主

作者: bigprawn 時間: 2015-6-15 16:04
如果理解了理論力學(xué)中瞬心的概念，這個問題就好理解了

作者: 幸會幸會 時間: 2015-6-17 09:33
大俠高見啊，佩服

作者: cosxuan 時間: 2015-6-17 14:57

例一證明有問題，給出以下證明：

首先按照樓主的結(jié)論圓，當(dāng)一個圓沿某一平面做純滾動時，其圓心走過的距離恒等于其自身轉(zhuǎn)過的弧長。

那么，da=db�，F(xiàn)反證，小圓轉(zhuǎn)過一個非常小的角度dθ（弧度制），那么r1(小圓圓心繞大圓圓心公轉(zhuǎn)半徑)×dθ=da, r2（小圓跟大圓的接觸點與大圓圓心的距離）×dθ=db，，假設(shè)da=db正確，所以r1×dθ=r2×dθ，得出r1=r2，但是r1=r2+r（小圓半徑），故假設(shè)不正確。

作者: jy297917 時間: 2015-6-23 08:33
謝謝，受教了。

作者: cosxuan 時間: 2015-6-24 06:58
本帖最后由 cosxuan 于 2015-6-24 07:27 編輯

圓公轉(zhuǎn)一角度時，小圓滾過的距離是不是AB段？小圓圓心移動的距離是不是CD段？AB=CD?別抓著所謂的定理不放，那都是有條件作為前提的，

圓，當(dāng)一個圓沿某一平面做純滾動時，其圓心走過的距離恒等于其自身轉(zhuǎn)過的弧長。

你自己也寫了，是沿某一平面，何為平面？小圓是沿平面滾動的嗎？你自己都紅色的標(biāo)出這句話了，我估計你現(xiàn)在還沒搞清楚平面跟面的定義吧！定理本生沒錯，錯的是你用錯地方了，忽略了使用條件。

作者: cosxuan 時間: 2015-6-26 08:58
本帖最后由 cosxuan 于 2015-6-26 08:59 編輯

我感覺你一直沒有理解我表達的問題，或許是我的表達有問題，這些咱都不去討論了，也不討論數(shù)學(xué)問題，只看圖。
首先初始時刻如下左邊圖所示，經(jīng)一段時間，小圓繞大圓公轉(zhuǎn)了θ角，小圓自轉(zhuǎn)了α角，如下右圖（就像你說的，θ不等于α，一開始是我疏忽了，我在此澄清，θ不等于α，自轉(zhuǎn)角不等于公轉(zhuǎn)角），這沒有問題吧？
那么小圓的自轉(zhuǎn)弧長就是DB段，圓心走過的弧長是O1O2段，按你的意思就是DB段等于O1O2段，自轉(zhuǎn)的弧長等于圓心走過的路徑對吧？
因為小圓在大圓上做的是純滾動，所以弧AB=弧DB，這有沒有問題？如果有請你證明出這兩段弧長不等。如果沒有問題，
那么弧AB=弧DB，又弧O1O2=弧DB，所以弧O1O2=弧AB，但是很明顯弧O1O2不等于弧AB，所以在例一這種情況下，自轉(zhuǎn)弧長并不等于圓心走過的路徑。
這樣推理有沒有問題？如果你有問題可以指出來哪錯了，并給出證明。

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